Come stimare il tasso finito di crescita da dati di abbondanza

Supponiamo che siano disponibili conteggi o stime della popolazione (si veda il paragrafo 1.2) in stagioni successive: $N_{0}$, $N_{1}$, $N_{2}$, ecc. È possibile allora stimare $\lambda$. Essendo infatti $N_{t}=\lambda^{t}N_{0}$, grazie ad una trasformazione logaritmica di entrambi i membri dell'equazione, si ottiene:

$$\ln(N_{t}) = \ln(N_{0}) + t\ln(\lambda)$$

Questa non è altro che l'equazione di una retta del tipo:

$$y=a x + b$$

dove il tempo $t$ è la variabile indipendente ($x$), il logaritmo del numero di individui nella stagione $t$ la variabile dipendente ($y$), il logaritmo di $\lambda$ il coefficiente angolare della retta ($a$) e il logaritmo del numero iniziale l'intercetta della retta ($b$). Nella Fig. 2.5 è riportato, su un grafico in scala semi-logaritmica (avente cioè il tempo $t$ in ascissa e il logaritmo di $N_{t}$ in ordinata) l'andamento nel tempo del numero di cavallette a partire da una popolazione iniziale di 100 individui, cioè i numeri di Fig. 2.7. Dalla Fig. 2.5 si ricava che l'andamento nel tempo del logaritmo di tali abbondanze è proprio descritto da una retta di pendenza $\ln(\lambda)$. I dati di Fig. 2.7 non sono però reali, ma sono stati generati dal modello malthusiano. Nella realtà, i dati sono affetti da errori di misura e il modello malthusiano è solo una descrizione approssimata della dinamica di popolazione. Non ci dobbiamo dunque aspettare che i dati allineino esattamente su una retta, ma solo che i punti costituiscano una ``nuvola'' di forma allungata che può ben essere approssimata da una retta.

Figura 2.5: Andamento dell'abbondanza di cavallette nel tempo in scala semi-logaritmica.

La pendenza di questa retta può allora essere stimata attraverso uno dei tradizionali metodi di regressione lineare (come i minimi quadrati) ormai disponibili in tutti i pacchetti statistici funzionanti su PC e nei fogli elettronici commerciali più diffusi. Tale pendenza costituisce una stima di $\ln(\lambda)$. Anche solo attraverso una semplice calcolatrice tascabile (purché abbia le funzioni logaritmo ed esponenziale), si può procedere manualmente in questo modo:

1. si calcola il logaritmo di $N_{t}$ nei vari istanti di osservazione $t=1,2,\ldots$;
2. si riportano i dati su un grafico avente le stagioni $t$ in ascissa e $\ln(N_{t})$ in ordinata;
3. si disegna ad occhio la retta interpolante (quella che cioè meglio approssima i dati);
4. si individuano le ordinate ($y_{1}$ e $y_{2}$) e le ascisse ($t_{1}$ e $t_{2})$ di due punti appartenenti a tale retta;
5. si calcola una stima del tasso finito di crescita come:
   $$\lambda = \exp\left(\frac{\ln(y_{1})-\ln(y_{2})}{t_{2}- t_{1}}\right)$$

Non possiamo aspettarci naturalmente che la stima del tasso finito di crescita fatta ad occhio sia rigorosa, ma è un esercizio utile che si consiglia di fare perché permette di avere comunque un'idea del valore di $\lambda$. Provate, ad esempio, a utilizzare i dati del problema 1.19 dell'eserciziario riguardanti la crescita dell'elefante di mare in California.